Question

4．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点，F是侧面CDD₁C₁上的动点，且B₁F∥平面A₁BE，则B₁F与平面CDD₁C₁所成角的正切值构成的集合是（　　）

• A． {2}
• B． {$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$}
• C． [2，2$\sqrt{2}$]
• D． [$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，2]

Answer 1

分析 设G，H，I分别为CD、CC₁、C₁D₁边上的中点，根据面面平行的判定定理，可得平面A₁BGE∥平面B₁HI，结合已知中B₁F∥面A₁BE，可得F落在线段HI上，∠B₁FC₁即为B₁F与平面CDD₁C₁ 所成角，求出该角正切的最大值与最小值，即可得到答案．

解答 解：设G，H，I分别为CD、CC₁、C₁D₁边上的中点，
则ABEG四点共面，
且平面A₁BGE∥平面B₁HI，
又∵B₁F∥面A₁BE，
∴F落在线段HI上，
设HI的中点为J，
则当F与J重合时，B₁F与平面CDD₁C₁ 所成角的正切值有最大值2$\sqrt{2}$；
当F与H或I重合时，B₁F与平面CDD₁C₁ 所成角的正切值有最小值2；
故B₁F与平面CDD₁C₁ 所成角的正切值构成的集合是[2，2$\sqrt{2}$]．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中分析出F落在线段HI上，是解答本题的关键．