Question

13．如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，
且AB⊥AC，AB=AC=PA=2，E是BC的中点．
（1）求异面直线AE与PC所成的角；
（2）求二面角D-PC-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，利用向量法即可求异面直线AE与PC所成的角；
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角D-PC-A的平面角的余弦值．

解答 解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz，
则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），
∵E是BC的中点，∴E（1，1，0），
则$\overrightarrow{AE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），
cos＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{PC}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{1}{2}$，
即＜$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{PC}$＞=60°，
故异面直线AE与PC所成的角是60°．
（2）在平面ABCD中，
∵AB=AC=2，AB⊥AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=45°，
由Rt△ACD，得AD=CD=$\sqrt{2}$，
∴D（-1，1，0），
∵C（0，2，0），
∴$\overrightarrow{CD}$=（-1，-1，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-x-y=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，令x=-1，则y=1，z=1，
即$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$，
∵AB⊥平面PAC，
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0）是平面PAC的一个法向量，
则cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即二面角D-PC-A的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查空间异面直线所成角的求解以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决空间角的常用方法．考查学生的运算能力．