Question

8．已知圆C过原点，圆心在射线y=2x（x＞0）上，半径为$\sqrt{5}$．
（1）求圆C的方程；
（2）若M为直线m：x+2y+5=0上的一动点，N为圆C上的动点，求|MN|的最小值以及|MN|取最小值时M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设圆C的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²．通过$\left\{{\begin{array}{l}{b=2a}\\{{a^2}+{b^2}=5}\\{a＞0}\end{array}}\right.$，计算即可；
（2）通过图象可知线段MN的延长线经过圆C的圆心，且与直线m垂直时|MN|的最小，联立直线MN、m的方程，利用点到直线的距离公式计算即可．

解答 解：（1）设圆C的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²．
由题意知：$\left\{{\begin{array}{l}{b=2a}\\{{a^2}+{b^2}=5}\\{a＞0}\end{array}}\right.$，
解得a=1，b=2．
∴圆C的方程为：（x-1）²+（y-2）²=5．
（2）由图象可知线段MN的延长线经过圆C的圆心，且与直线m垂直时|MN|的最小，
∴直线MN：y-2=2（x-1），
∵MN∩m=M，
∴联立$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y+5=0}\\{2x-y=0}\end{array}}\right.$，得M（-1，-2），
设圆心C到直线m的距离为d，则d=$\frac{|1+4+5|}{{\sqrt{5}}}$=$2\sqrt{5}$，
∴|MN|的最小值为d-r=$\sqrt{5}$．
∴|MN|的最小值为$\sqrt{5}$，此时M的坐标（-1，-2）．

点评 本题是一道直线与圆的方程的综合应用题，涉及到点到直线的距离公式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．