Question

20．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1．
（1）求证BD₁⊥AC；
（2）求直线A₁B与平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，以DC直线为Y轴，以DA直线为Z轴，建立空间直角坐标系，证明$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{AC}$=0，即可证明BD₁⊥AC；
（2）求出$\overrightarrow{AC}$是平面BB₁D₁D的法向量，利用$\overrightarrow{{A}_{1}B}$与$\overrightarrow{AC}$所成角θ的余弦值的绝对值等于直线A₁B与平面BB₁D₁D所成角的正弦值求直线A₁B与平面BB₁D₁D所成角的正弦值．

解答 解：（1）如图，以D为原点，以DC直线为Y轴，以DA直线为Z轴，建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），D₁（0，0，1）…（2分）
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-2，-2，1），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），…（3分）
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$•$\overrightarrow{AC}$=4-4=0，…（4分）
∴BD₁⊥AC…（5分）
（2）∵$\overrightarrow{BD}$=（-2，-2，0），
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}$=4-4=0，
∴BD⊥AC，…（7分）
∵BD∩BD₁=B，
∴$\overrightarrow{AC}$是平面BB₁D₁D的法向量…（8分）
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$与$\overrightarrow{AC}$所成角θ的余弦值的绝对值等于直线A₁B与平面BB₁D₁D所成角的正弦值，
∵cosθ=$\frac{-4}{\sqrt{5}•2\sqrt{2}}$=-$\frac{2\sqrt{10}}{10}$．…（9分）
∴直线A₁B与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{10}}{10}$．…（10分）

点评 此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．