Question

12．如图，正三棱锥A-BCD中，E、F分别为BD、AD的中点，且EF⊥CF，底面边长为2，则点B到平面ACD的距离为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设点A在面BCD内的射影为A′，由三棱锥A-BCD为正三棱锥，易得A′为△BCD中心，由线面垂直的判定定理可得AB⊥面ACD，即∠ADB为直线BD与平面ACD所成角，解三角形ADB可得直线BD与平面ACD所成的角，即可求出点B到平面ACD的距离．

解答 解：设点A在面BCD内的射影为A′，
∵三棱锥A-BCD为正三棱锥，
∴AB=AD，
△BCD为正三角形，A′为△BCD中心，
∴CD⊥BA′，
∵AA′⊥面BCD，
∴CD⊥AB，
∵E、F分别为BD、AD的中点，∴EF∥AB，
∵EF⊥CF，∴AB⊥CF，
又∵AB⊥CD，CD∩CF=C，
∴AB⊥面ACD，
∴AB⊥AD．
∴∠ADB即为直线BD与平面ACD所成角，
又∵AB=AD，AB⊥AD，
∴∠ADB=45°，
∴直线BD与平面ACD所成角为45°，
∵BD=2，
∴点B到平面ACD的距离为2sin45°=$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查点B到平面ACD的距离，考查直线与平面所成的角，其中求出∠ADB为直线BD与平面ACD所成角是解答的关键．