Question

17．已知函数f（x）=mx+2，g（x）=x²+2x+m，若存在整数a，b，使得a≤f（x）-g（x）≤b的解集恰好是[a，b]，则a-b的值为．-2．

Answer 1

分析 假设存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．则G（a）=a，G（b）=a，a≤G（ $\frac{m-2}{2}$）≤b，由G（a）=G（b）=a，解出整数a，b，再代入不等式检验即可．

解答 解：设G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m．
则由题意可得a≤-x²+（m-2）x+2-m≤b
假设存在整数a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，
则G（a）=a，G（b）=a，∴a≤G（ $\frac{m-2}{2}$）≤b，且a＜b．
即有-a²+（m-2）a+2-m=a①，-b²+（m-2）b+2-m=a②，a≤$\frac{{m}^{2}-8m+12}{4}$≤b ③．
①-②可得a+b=m-2，代入①得-a²+a（a+b）-（a+b）=a，
再化简得（a-1）（b-2）=2，因为a、b均为整数，所以a=2，b=4或a=-1，b=1．
当a=2，b=4时，③即2≤$\frac{{m}^{2}-8m+12}{4}$≤4成立；当a=-1，b=1时，③即-1≤$\frac{{2}^{2}-8×2+12}{4}$≤1成立．
故存在整数a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]，且a=2，b=4；或a=-1，b=1，
故a-b=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查二次函数的单调性及运用，以及含绝对值的二次函数的单调性，考查分类讨论的思想方法，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．