Question

2．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-1）x，对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞a，求a的取值范围．

Answer 1

分析 将不等式进行转化，构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．

解答 解：不妨设x₁＞x₂，则不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞a等价为f（x₁）-f（x₂）＞ax₁-ax₂，
即f（x₁）-ax₁＞f（x₂）-ax₂，
设g（x）=f（x）-ax，
则不等式等价为g（x₁）＞g（x₂），
即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-1）x，
∴g（x）=f（x）-x=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-1）x-x=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-2）x，
函数的导数g′（x）=x-$\frac{a}{x}$+a-2=$\frac{{x}^{2}+（a-2）x-a}{x}$≥0恒成立，
即h（x）=x²+（a-2）x-a＞0，则（0，+∞）上恒成立，
则△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，
则此时满足$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=-a≥0}\\{-\frac{a-2}{2}≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{a≤2}\end{array}\right.$，解得a≤0，
故a的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题主要考查函数单调性的判断和应用，将不等式进行转化，构造函数利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．