Question

14．已知矩阵A=$（\begin{array}{l}{a}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}）$．A的一个特征值λ=2．
（1）求矩阵A；
（2）在平面直角坐标系中，点P（1，1）依次在矩阵A所对应的变换σ和关于x轴对称的反射变换γ的作用下得到点P′，写出复合变换γ•σ的变换公式，并求出点P′的坐标．

Answer 1

分析 根据矩阵M的一个特征值为1，代入特征多项式求出a的值，求出γ•σ，即可求出点P′的坐标．

解答 解：矩阵M的特征多项式f（λ）=（λ-a）（λ-4）+2，
又∵矩阵M的一个特征值为2，
∴f（2）=0，∴a=1，
由γ•σ=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{-1}\end{array}][\begin{array}{l}{1}&{2}\\{-1}&{4}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{1}&{-4}\end{array}]$，
设P′（x，y），则$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{1}&{-4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，
∴x=3，y=-3，
∴P′（3，-3）．

点评 本题主要考查矩阵的特征值与变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．