Question

6．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，且a₃b₃=$\frac{1}{2}$与S₃+S₅=21，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 根据等差数列的性质和前n项和公式，建立方程组关系，求出首项和公差，即可得到结论．

解答 解：∵b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，∴b₃=$\frac{1}{{S}_{3}}$，
∵a₃b₃=$\frac{1}{2}$与S₃+S₅=21，
∴a₃$\frac{1}{{S}_{3}}$=$\frac{1}{2}$与S₃+S₅=21，
设首项为a₁，公差为d，
则2a₃=S₃，S₃+S₅=21，
即$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+4d=3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d}\\{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d+5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=21}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，公差为d=1，
即S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=n+$\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
则b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式的求解，根据方程组思想求出首项和公差是解决本题的关键．