Question

5．如图所示，在直角三角形ABC中的直角边AB，AC的长分别为2cm，2$\sqrt{3}$cm，PA⊥平面ABC，PA=1cm，求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

分析 作斜边上的高AD，连接PD，则∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角．通过勾股定理及三角形面积的不同计算方法可在Rt△PAD中求得∠PDA的正切值，计算即可．

解答 解：作斜边上的高AD，连接PD，
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC、PA⊥AD，
又∵AD⊥BC，∴BC⊥平面PAD，
∴BC⊥PD，则∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角．
∵AC=2$\sqrt{3}$cm，AB=2cm，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{4+12}$=4cm，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×AC=$\frac{1}{2}$BC×AD，∴AD=$\sqrt{3}$cm，
∵PA⊥AD，PA=1cm，
∴tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PDA=$\frac{π}{6}$，
即二面角P-BC-A为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查求二面角的大小，涉及到勾股定理、三角形面积的不同计算方法等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．