Question

10．如图三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC⊥侧面AA₁C₁C，△AA₁C是正三角形，AB⊥BC且AB=BC．又三棱锥A-A₁BC的体积是$\frac{9\sqrt{3}}{8}$．
（1）证明：AC⊥A₁B；
（2）求直线BC和面ABA₁所成角的正弦．

Answer 1

分析 （1）取AC的中点O，证明AC⊥平面A₁BO，即可证明AC⊥A₁B；
（2）求出AC，建立坐标系，求出面ABA₁法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线BC和面ABA₁所成角的正弦．

解答 （1）证明：取AC的中点O，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC…（1分）
又△AA₁C是正三角形，
∴A₁O⊥AC，BO∩A₁O=O，…（2分）
∴AC⊥平面A₁BO…（3分）
又A₁B?平面A₁BO，
∴AC⊥A₁B…（4分）
（2）解：设AC=a，则
∵三棱锥A-A₁BC的体积是$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
∴$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}•\frac{1}{2}a$=$\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
∴a=3…（6分）
建系如图，则A（0，-$\frac{3}{2}$，0），B（0，0，$\frac{3}{2}$），C（0，$\frac{3}{2}$，0），A₁（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{CB}$=（0，-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），…（8分）
设面ABA₁法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}z=0}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$
得：$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1，1）…（10分）
设直线BC和面ABA₁所成角为θ，则sinθ=$\frac{3}{\sqrt{\frac{7}{3}•\frac{3}{2}\sqrt{2}}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．