Question

20．已知函数f（x）=2lnx+$\frac{a}{lnx}$（a∈R）．
（1）若f（e）=1，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的定义域；
（3）若对任意的x≥e，不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若f（e）=1，代入，即可求a的值；
（2）利用函数表达式，即可求函数y=f（x）的定义域；
（3）若对任意的x≥e，不等式f（x）≥1恒成立，则对任意x≥e，不等式a≥lnx-2ln²x恒成立，求最值，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（e）=2lne+$\frac{a}{lne}$=2+a=1，∴a=-1；
（2）由题意，函数y=f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞）；
（3）已知对任意的x≥e，不等式f（x）≥1恒成立，则2lnx+$\frac{a}{lnx}$≥1，
即对任意x≥e，不等式a≥lnx-2ln²x恒成立．
令t=lnx（t≥1），y=lnx-2ln²x=t-2t²=-2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{8}$
∵t≥1，∴y≤-1
∴a≥-1．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．