Question

8．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{x}$-lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求函数f（x）在（1，e²）上的零点个数（e为自然对数）；
（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值集合；
（3）若f（x）有两零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：2＜x₁+x₂＜3e^a-1-1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得单调区间，由单调性，即可判断函数的零点个数；
（2）求得函数f（x）的导数，求得单调区间和最大值，通过最大值的符号，讨论a的大小，即可得到a的取值；
（3）先证x₁+x₂＞2．依题设，有a=$\frac{1}{{x}_{1}}$+lnx₁=$\frac{1}{{x}_{2}}$+lnx₂，整理，构造函数g（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$-lnx，x＞1．通过导数判断单调性，即可得证；再证x₁+x₂＜3e^a-1-1，仿（1）知，p是h（x）的唯一最大值点，故有$\left\{\begin{array}{l}{h（p）＞0}\\{{x}_{1}＜p＜{x}_{2}}\end{array}\right.$，作函数m（x）=lnx-$\frac{2（x-p）}{x+p}$-lnp，通过导数判断单调性，整理，变形，即可得证．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=2-$\frac{1}{x}$-lnx（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴函数f（x）在（1，e²）递减；
而f（1）=2-1-ln1=1＞0，f（e²）=2-$\frac{1}{{e}^{2}}$-lne²=-$\frac{1}{{e}^{2}}$＜0，
∴f（x）在（1，e²）有1个零点；
（2）f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，得x=1．
当x＞1时，f′（x）＜0，在（1，+∞）上单调递减；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，在（0，1）上单调递增，
故f（x）_max=f（1）=a-1．
①当a-1=0，即a=1时，因最大值点唯一，故符合题设；
②当a-1＜0，即a＜1时，f（x）＜0恒成立，不合题设；
③当a-1＞0，即a＞1时，一方面，?e^a＞1，f（e^a）=-$\frac{1}{{e}^{a}}$＜0；
另一方面，?e^-a＜1，f（e^-a）≤2a-ea＜0（易证：e^x≥ex），
于是，f（x）有两零点，不合题设．
综上，a的取值集合为{1}．
（3）证明：先证x₁+x₂＞2．
依题设，有a=$\frac{1}{{x}_{1}}$+lnx₁=$\frac{1}{{x}_{2}}$+lnx₂，于是$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{2}{x}_{1}}$=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．
记$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t，t＞1，则lnt=$\frac{t-1}{t{x}_{1}}$，故x₁=$\frac{t-1}{tlnt}$．
于是x₁+x₂=x₁（t+1）=$\frac{{t}^{2}-1}{tlnt}$，x₁+x₂-2=$\frac{2（\frac{{t}^{2}-1}{2t}-lnt）}{lnt}$．
记函数g（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{2x}$-lnx，x＞1．
因g′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{2{x}^{2}}$＞0，故g（x）在 （1，+∞）上单调递增．
于是，t＞1时，g（t）＞g（1）=0．
又lnt＞0，所以，x₁+x₂＞2．
再证x₁+x₂＜3e^a-1-1，
f（x）=0?h（x）=ax-1-xlnx=0，故x₁，x₂也是h（x）=0的两个零点．
由h′（x）=a-1-lnx=0，得x=e^a-1（记p=e^a-1）．
仿（1）知，p是h（x）的唯一最大值点，故有$\left\{\begin{array}{l}{h（p）＞0}\\{{x}_{1}＜p＜{x}_{2}}\end{array}\right.$，
作函数m（x）=lnx-$\frac{2（x-p）}{x+p}$-lnp，则m′（x）=$\frac{（x-p）^{2}}{x（x+p）^{2}}$≥0，故m（x）单调递增．
当x＞p时，h（x）＞h（p）=0；当0＜x＜p时，h（x）＜0．
于是，ax₁-1=x₁lnx₁＜$\frac{2{x}_{1}（{x}_{1}-p）}{{x}_{1}+p}$+x1lnp．
整理，得（2+lnp-a）x₁²-（2p+ap-plnp-1）x₁+p＞0，
即x₁²-（3e^a-1-1）x₁+e^a-1＞0．
同理x₂²-（3e^a-1-1）x₂+e^a-1＜0． 
故x₂²-（3e^a-1-1）x₂+e^a-1＜x₁²-（3e^a-1-1）x₁+e^a-1，
即（x₂+x₁）（x₂-x₁）＜（3e^a-1-1）（x₂-x₁），
于是x₁+x₂＜3e^a-1-1．
综上，2＜x₁+x₂＜3e^a-1-1．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的零点的求法和取值范围，同时考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，运用构造函数判断单调性是解题的关键．