Question

19．如图，P是平面ABCD外的一点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA=2，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q点．
（1）证明：PD⊥平面MNQ；
（2）求二面角P-MN-Q的大小．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件容易证明MN⊥平面PAD，从而得到MN⊥PD，再根据MQ⊥PD，便可得出PD⊥平面MNQ；
（2）先说明∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角，从而根据已知的边的长度，及直角三角形边角的关系，即可求出MQ，PM，而△PMQ为直角三角形，从而可求出cos∠PMQ，从而得到∠PMQ．

解答 解：（1）证明：PA⊥平面ABCD，MN?平面ABCD；
∴PA⊥MN，即MN⊥PA；
M、N分别为AD、BC的中点；
∴MN⊥AD，PA∩AD=A；
∴MN⊥平面PAD；
∴MN⊥PD，又MQ⊥PD，MQ∩MN=M；
∴PD⊥平面MNQ；
（2）由上面知，MN⊥平面PAD，MP，MQ?平面PAD；
∴MN⊥MP，MN⊥MQ；
∴∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角；
PM=$\sqrt{5}$，MQ=1$•sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴在Rt△PMQ中，$cos∠PMQ=\frac{MQ}{PM}=\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴$∠PMQ=arccos\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴二面角P-MN-Q的大小为arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及二面角平面角的概念及求法，直角三角形边角关系，反余弦函数的定义．