Question

7．将边长为2的正方形ABCD（O是正方形ABCD的中心）沿对角线AC折起，使得半平面ACD与半平面ABC成θ（0°＜θ＜180°）的两面角，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：
①不论θ取何值，总有AC⊥BD；
②当θ=90°时，△BCD是等边三角形；
③当θ=60°时，三棱锥D-ABC的体积是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
其中正确的命题的序号是①②③．（把你认为正确的序号都填上）

Answer 1

分析 通过证明AC⊥平面BOD，证明AC⊥BD，可得①正确；
过D作DO⊥AC于O，连接BO，利用勾股定理求得BD长，可得②正确；
利用棱锥的体积公式计算三棱锥的体积，可得③正确．

解答 解：过D作DO⊥AC于O，连接BO，由题意知：BO⊥AC，
∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BOD，∴AC⊥BD，
∴BD=1，即△BCD为等边三角形，②正确；
∵O为AC的中点，AB=BC，∴BO⊥AC，∴AC⊥平面BOD，BD?平面BOD，∴AC⊥BD，①正确；
∵V_D-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴③正确；
故答案为：①②③．

点评 本题考查了面面垂直的性质及异面直线所成角的求法，考查了学生的空间想象能力与计算能力．