Question

15．如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AE-C的正切值；
（Ⅲ）求直线EC与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由线面垂直得到线线垂直，再由二面角的平面角是直角得到线线垂直，再由线面垂直的判定得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知角BEC就是二面角B-AE-C的平面角，然后通过解直角三角形得答案；
（Ⅲ）取AB的中点O，连接EO，CO，则可证明角ECO就是直线EC与平面ABCD所成角．然后通过解直角三角形得答案．

解答 （Ⅰ）证明：∵BF⊥平面ACE．∴BF⊥AE．
∵二面角D-AB-E为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE．
∴CB⊥AE．
则AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知角BEC就是二面角B-AE-C的平面角，
由AE⊥平面BCE，得AE⊥BE，
又AE=EB，AB=2，∴BE=$\sqrt{2}$，
则$tan∠BEC=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$；
（Ⅲ）解：取AB的中点O，连接EO，CO，
∵AE=EB，∴EO⊥AB，
则EO⊥平面ABCD，
∴角ECO就是直线EC与平面ABCD所成角．
EO=1，CO=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{1}}=\sqrt{5}$．
∴$tan∠ECO=\frac{EO}{CO}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面角及二面角的求法，考查空间直线和平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．