Question

3．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上部同于A、B的一点，且AB=2，PA=BC=1
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

分析 （1）根据PA⊥平面ABC便可得到BC⊥PA，又可说明BC⊥AC，从而得到BC⊥平面PAC，从而得出平面PAC⊥平面PBC；
（2）由（1）便知∠PCA为二面角P-BC-A的平面角，根据已知的边的长度，即可求得AC，PA是已知的，从而可求tan∠PCA，从而求出∠PCA．

解答 解：（1）证明：PA⊥平面ABC，BC?平面ABC；
∴PA⊥BC，即BC⊥AC；
又C是⊙O上异于A，B的一点，AB为直径；
∴BC⊥AC，AC∩PA=A；
∴BC⊥平面PAC，BC?平面PBC；
∴平面PAC⊥平面PBC；
（2）BC⊥平面PAC，PC?平面PAC；
∴BC⊥PC，又BC⊥AC；
∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角；
在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=$\sqrt{3}$；
在Rt△PAC中，$PA=1，AC=\sqrt{3}$，∴$tan∠PCA=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴∠PCA=30°；
即二面角P-BC-A的大小为30°．

点评 考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，以及直径所对圆周角为直角，直角三角形边的关系，二面角的平面角的概念及求法．