Question

3．如图，已知四棱锥P-ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°．
（1）证明：PB⊥BC；
（2）若PB=3，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD中点O，连OP、OB，证明AD⊥平面POB，利用BC∥AD，可得BC⊥平面POB，从而可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值

解答 （1）证明：取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，
又OP∩OB=O，∴AD⊥平面POB，
∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，
∵PB?平面POB，∴BC⊥PB，即∠PBC=90°．
（2）解：如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），
由PO=BO=$\sqrt{3}$，PB=3，得∠POB=120°，∴∠POz=30°，∴P（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
则$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{-x=0}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}y-\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{3}$），
设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$

点评 本题考查直线与平面垂直，考查线面角，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题．