Question

8．已知f（x）=-$\sqrt{{x}^{2}-4}$（x≤-2），数列{a_n} 满足 a₁=-1，a_n=f^-1（a_n-1）（n≥2），求通项公式a_n．

Answer 1

分析 求出函数的反函数，注意函数的定义域，由题意可得数列{a_n²}是1为首项，4为公差的等差数列，运用等差数列的通项公式，即可得到所求通项公式a_n．

解答 解：y=f（x）=-$\sqrt{{x}^{2}-4}$（x≤-2），
即有x²=4+y²，
即x=-$\sqrt{4+{y}^{2}}$，
即有y=f（x）的反函数为y=f^-1（x）=-$\sqrt{4+{x}^{2}}$（x≤0），
由a_n=f^-1（a_n-1）（n≥2），可得
a_n=-$\sqrt{4+{{a}_{n-1}}^{2}}$，
即有a_n²-a_n-1²=4，
则数列{a_n²}是1为首项，4为公差的等差数列，
即有a_n²=1+4（n-1）=4n-3，
由a_n＜0，可得
a_n=-$\sqrt{4n-3}$．

点评 本题主要考查数列的通项公式的求法，注意运用构造数列法，同时考查函数的反函数的求法，属于中档题．