Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M 为PD的中点，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO=a
（1）证明：DA⊥平面PAC；
（2）如果二面角M-AC-D的正切值为2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件即知DA⊥AC，而PO⊥平面ABCD，从而DA⊥PO，从而由线面垂直的判定定理得到DA⊥平面PAC；
（2）分别取DO，AO中点为G，H，并连接MG，GH，MH，从而可说明∠MHG即为二面角M-AC-D的平面角，根据该平面角的正切值为2即可求出a．

解答 解：（1）证明：由题意，∠ADC=45°，AD=AC=1，故∠DAC=90°；
即DA⊥AC；
又因 PO⊥平面ABCD，DA?平面ABCD；
所以，DA⊥PO，PO∩AC=O；
∴DA⊥平面PAC；
（2）如图，连结DO，取DO中点G，连接MG，∵M为PD中点，∴MG∥PO；
∴MG⊥底面ABCD，∴MG⊥AC；
同样取AO中点H，连接GH，则GH⊥AC，连接MH；
则AC⊥MG，AC⊥GH，MG∩GH=G；
∴AC⊥平面MGH；
∴∠MHG即为二面角M-AC-D的平面角；
而$GH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}$，MG=$\frac{a}{2}$；
∴$tan∠MHG=\frac{MG}{GH}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{1}{2}}=2$；
故a=2．

点评 考查线面垂直的性质，等腰三角形两底角相等，线面垂直的判定定理，以及三角形中位线的性质，二面角平面角的定义，正切函数的定义．