Question

10．如图，ABCD为正方形，BDEF为矩形，AB=2BF，DE⊥平面ABCD，G为EF中点．
（Ⅰ）求证：平面ABG⊥平面CDG；
（Ⅱ）求二面角C-FG-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先说明直线BC，BA，BF两两垂直，从而可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出图形上点的坐标．设平面ABG的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BA}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BG}=0}\end{array}\right.$，即可求出$\overrightarrow{{n}_{1}}$，同样的办法求出平面CDG的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$，只需证明$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{{n}_{2}}$，也就是证明$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0$；
（Ⅱ）利用上面求$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$的方法，求出平面CFG的法向量$\overrightarrow{{n}_{3}}$，以及平面BFG的法向量$\overrightarrow{{n}_{4}}$，设二面角C-FG-B的大小为θ，而根据cos$θ=-cos＜\overrightarrow{{n}_{3}}，\overrightarrow{{n}_{4}}＞$即可求出二面角C-FG-B的余弦值．

解答 解：（I）证明：DE⊥平面ABCD，BF∥DE；
∴BF⊥平面ABCD，ABCD为正方形；
∴BC，BA，BF三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方形边长为2，则：
A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），D（2，2，0），E（2，2，1），F（0，0，1），G（1，1，1）；
设平面ABG的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则：$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{BG}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BA}=2{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BG}={x}_{1}+{y}_{1}+{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=0}\\{{x}_{1}=-{z}_{1}}\end{array}\right.$，取z₁=1，∴$\overrightarrow{{n}_{1}}=（-1，0，1）$；
同样设平面CDG的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，则根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CG}=0}\end{array}\right.$可求得$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，0，1）$；
$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0$；
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{{n}_{2}}$；
∴平面ABG⊥平面CDG；
（Ⅱ）设平面CFG的法向量为$\overrightarrow{{n}_{3}}=（{x}_{3}，{y}_{3}，{z}_{3}）$，则：
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{3}}•\overrightarrow{CF}=-2{x}_{3}+{z}_{3}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{3}}•\overrightarrow{CG}=-{x}_{3}+{y}_{3}+{z}_{3}=0}\end{array}\right.$得：
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{3}=-{x}_{3}}\\{{z}_{3}=2{x}_{3}}\end{array}\right.$，取x₃=1，$\overrightarrow{{n}_{3}}=（1，-1，2）$；
同样设平面BFG的法向量为$\overrightarrow{{n}_{4}}=（{x}_{4}，{y}_{4}，{z}_{4}）$，则由：$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{4}}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{4}}•\overrightarrow{BG}=0}\end{array}\right.$即可求得$\overrightarrow{{n}_{4}}=（-1，1，0）$；
设二面角C-FG-B的大小为θ，则：
cosθ=$-cos＜\overrightarrow{{n}_{3}}，\overrightarrow{{n}_{4}}＞=\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
即二面角C-FG-B的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查平行线中一条垂直于一个平面，而另一条也垂直这个平面，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量证明面面垂直、求二面角的方法，能够写出空间点的坐标，以及平面法向量的概念及求法，两平面法向量夹角和平面二面角的大小的关系，两非零向量垂直的充要条件．