如图.E为正方体的棱AA1中点.F为棱AB上一点.且∠C1EF=90°.则|AF|:|FB|=1:3．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．如图，E为正方体的棱AA₁中点，F为棱AB上一点，且∠C₁EF=90°，则|AF|：|FB|=1：3．

分析设出正方体的棱长，求出C₁E，利用∠C₁EF=90°，通过C₁F求出x的值，即可得到结果

解答解：设正方体的棱长为2，由题意可知C₁E=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=3，
∠C₁EF=90°，所以设AF=x，1²+x²+C₁E²=2²+2²+（2-x）²，
解得：x=$\frac{1}{2}$，所以AF：FB=$\frac{1}{2}$：（2-$\frac{1}{2}$）=1：3；
故答案为：1：3．

点评本题考查正方体的性质运用以及线段的长度计算，考查直角三角形的利用，考查计算能力．

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10．

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（Ⅰ）求证：平面ABG⊥平面CDG；
（Ⅱ）求二面角C-FG-B的余弦值．

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7．设x₁，x₂是函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1的两个极值点，且x₁＜x₂，a＞0．
（Ⅰ）求证：x₁x₂为定值；
（Ⅱ）求f（x₁）+f（x₂）的取值范围；
（Ⅲ）求f（x₂）-f（x₁）的最大值．

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14．

如图所示，椭圆C：x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（0＜m＜1）的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．
（Ⅰ）若点P的坐标为（$\frac{7}{5}$，$\frac{4\sqrt{3}}{5}$），求m的值；
（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求实数m的取值范围．

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4．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面BCC₁B₁内有一点M，满足M到点B的距离等于点M到面CDD₁C₁的距离，则点M的轨迹是（　　）

A．

圆的一部分

B．

椭圆的一部分

C．

双曲线的一部分

D．

抛物线的一部分

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11．

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中（底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱叫正三棱柱），各棱长都是4，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）证明在棱CC₁上存在一点F，使得DF⊥AC，并求AF的长．

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8．将函数f₁（x）=sinx与函数f₂（x）=cosx线性组构成的函数f（x）=Af₁（x）+Bf₂（x）（A，B是常数，x∈R）图象称为（A，B）曲线．
（1）若（A，B）曲线经过点P（$\frac{π}{3}$，0），Q（π，-2$\sqrt{3}$），求A、B的值；
（2）若（A，B）曲线与射线y=2（x≥0）的所有交点的横坐标依次组成一个等差数列{a_n}，且a₁=$\frac{π}{3}$，求数列{a_n}的通项以及常数A、B的值；
（3）在（1）的条件下，求证：对x∈（0，+∞），恒有f（x）＞-x-$\frac{2π}{3}$．

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9．在△ABC中，∠B=30°，∠A=90°，M是边BC的中点，现将△ABM沿AM旋转，当△ABM转到与△ACM所在面垂直时，CB与平面AMC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{10}$；异面直线CB与AM所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

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