Question

7．设x₁，x₂是函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1的两个极值点，且x₁＜x₂，a＞0．
（Ⅰ）求证：x₁x₂为定值；
（Ⅱ）求f（x₁）+f（x₂）的取值范围；
（Ⅲ）求f（x₂）-f（x₁）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先确定函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1的定义域，再求导f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（a+$\frac{4}{a}$）=$\frac{{x}^{2}-（a+\frac{4}{a}）x+1}{x}$，从而由根与系数的关系可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=a+\frac{4}{a}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\\{{x}_{2}＞{x}_{1}＞0}\end{array}\right.$，从而化简f（x₁）+f（x₂）=ln（x₁x₂）+$\frac{1}{2}$（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）-（a+$\frac{4}{a}$）（x₁+x₂）+2=$\frac{1}{2}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]-（a+$\frac{4}{a}$）（x₁+x₂）+2
=-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）²+1；从而求值域；
（Ⅲ）由x₁x₂=1化简f（x₂）-f（x₁）=2lnx₂-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$），（x₂＞1）；再令g（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x-$\frac{1}{x}$），从而可判断g（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x-$\frac{1}{x}$）在（1，+∞）上是减函数；从而再由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\end{array}\right.$解得x₂=2+$\sqrt{3}$；即当且仅当a=$\frac{4}{a}$，即a=2时，x₂有最小值2+$\sqrt{3}$；从而解得．

解答 解：（Ⅰ）证明：f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（a+$\frac{4}{a}$）=$\frac{{x}^{2}-（a+\frac{4}{a}）x+1}{x}$，
令f′（x）=0得：x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1=0，由于a＞0，则△=（a+$\frac{4}{a}$）²-4＞0；
因为x₁，x₂是函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1的两个极值点，
故x₁x₂=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=a+\frac{4}{a}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\\{{x}_{2}＞{x}_{1}＞0}\end{array}\right.$，
∴f（x₁）+f（x₂）=ln（x₁x₂）+$\frac{1}{2}$（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）-（a+$\frac{4}{a}$）（x₁+x₂）+2
=$\frac{1}{2}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]-（a+$\frac{4}{a}$）（x₁+x₂）+2
=-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）²+1≤-7（当且仅当a=$\frac{4}{a}$，即a=2时，等号成立）；
∴f（x₁）+f（x₂）的取值范围为（-∞，-7]；
（Ⅲ）∵x₁x₂=1，
∴f（x₂）-f（x₁）=lnx₂+$\frac{1}{2}$x₂²-（a+$\frac{4}{a}$）x₂+1-（lnx₁+$\frac{1}{2}$x₁²-（a+$\frac{4}{a}$）x₁+1）
=2lnx₂-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$），（x₂＞1）；
令g（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x-$\frac{1}{x}$），
则g′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）
=-$\frac{（a+\frac{4}{a}）{x}^{2}-4x+a+\frac{4}{a}}{2{x}^{2}}$≤0，
故g（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x-$\frac{1}{x}$）在（1，+∞）上是减函数；
当且仅当a=$\frac{4}{a}$，即a=2时，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\end{array}\right.$解得：x₂=2+$\sqrt{3}$；
即当且仅当a=$\frac{4}{a}$，即a=2时，x₂有最小值2+$\sqrt{3}$；
此时f（x₂）-f（x₁）有最大值为2ln（2+$\sqrt{3}$）-2（2+$\sqrt{3}$-（2-$\sqrt{3}$））
=2ln（2+$\sqrt{3}$）-4$\sqrt{3}$．

点评 本题为导数、不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．