Question

12．已知a，b∈R，当x＞0时，不等式ax+b≥lnx，则a+b的最小值为0．

Answer 1

分析 令y=lnx-ax-b，求出导数，当a≤0时，y′＞0，函数递增，无最值．当a＞0时，求得单调区间，和极值及最值，进而得到a+b的不等式，再令f（a）=a-1-lna，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到a+b的最小值．

解答 解：令y=lnx-ax-b，则y′=$\frac{1-ax}{x}$（x＞0），
当a≤0时，y′＞0，函数递增，无最值．
当a＞0时，0＜x＜$\frac{1}{a}$时，y′＞0，函数递增；当x＞$\frac{1}{a}$时，y′＜0，函数递减．
则x=$\frac{1}{a}$处取得极大值，也为最大值，且为-lna-1-b．
当x＞0时，不等式ax+b≥lnx恒成立，
即有-lna-1-b≤0，
即b≥-1-lna，
a+b≥a-1-lna，
令f（a）=a-1-lna，f′（a）=1-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-1}{a}$，
当a＞1时，f′（a）＞0，f（a）递增；当0＜a＜1时，f′（a）＜0，f（a）递减．
则a=1处f（a）取得极小值，也为最小值，且为0．
即有a+b≥0．
即有a+b的最小值为0．
故答案为：0．

点评 本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用导数判断单调性，求极值和最值是解题的关键，属于中档题．