Question

20．已知椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆C上的动点，△PF₁F₂的面积最大值为$\sqrt{3}$，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x-4y+5=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过定点（1，0）且与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与y轴交于P，Q两点，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直线与圆相切以及三角形的面积列出方程组求出b，c，a．即可解得椭圆C的方程．
（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．当直线l斜率不存在时，直接求出定点坐标．当直线l斜率存在时，设y=k（x-1），（k≠0）．联立直线与椭圆方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，通过直线AM的方程，直线BM的方程，转化已知条件为$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=0$恒成立．然后利用数量积求解定点坐标．

解答 解：（1）由题意椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆C上的动点，
△PF₁F₂的面积最大值为$\sqrt{3}$，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x-4y+5=0相切．
可得$\left\{\begin{array}{l}{S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{2}•2c•b=\sqrt{3}\\ b=\frac{5}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=1\end{array}\right.$，解得b=1，c=$\sqrt{3}$，a=2．
所以椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．        …（4分）
（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．
当直线l斜率不存在时
以线段PQ为直径的圆的方程为：x²+y²=3，恒过定点$（±\sqrt{3}，0）$．…（5分）
当直线l斜率存在时   设y=k（x-1），（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\ \frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\end{array}\right.$得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．…（7分）
又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M（2，0）．
由题意可知直线AM的方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），故点P）．
直线BM的方程为：$y=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}（x-2）$，故点Q（$0，-\frac{{2y}_{2}}{{x}_{2}-2}$）．   …（8分）
若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x₀，0），
则等价于$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}=0$恒成立．      …（9分）
又因为$\overrightarrow{PN}=（{x}_{0}，\frac{{2y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$，$\overrightarrow{QN}=（{x}_{0}，\frac{{2y}_{2}}{{x}_{2}-2}）$，
所以$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QN}={{x}_{0}}^{2}+\frac{{2y}_{1}}{{x}_{1}-2}•\frac{{2y}_{2}}{{x}_{2}-2}=0$恒成立．
又因为（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-2×\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+4$=$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=$k（{x}_{1}-1）k{（x}_{2}-1）={k}^{2}{[x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1]$=${k}^{2}（\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+1）$=$\frac{-3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
所以${{x}_{0}}^{2}+\frac{4{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}-2）{（x}_{2}-2）}$=${{x}_{0}}^{2}+\frac{\frac{-12{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}{\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}}$=${{x}_{0}}^{2}-3=0$．解得x₀=$±\sqrt{3}$．
故以线段PQ为直径的圆过X轴上的定点（$±\sqrt{3}，0$）．        …（12分）
（或设x=my+1请酌情给分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，恒过定点问题的求解方法，考查转化思想以及计算能力．向量在解析几何中的应用，注意直线的斜率是否存在，防止漏解．