Question

8．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q，直线PC与平面PBA所成的角的正弦为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求PA的长；
（2）求二面角P-MN-Q的大小；
（3）求点M到平面PNQ的距离．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面PAB，可得PC与平面PBA所成的角的正弦为$\frac{BC}{PC}$，求出PC，再求出PA的长；
（2）证明∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角，即可求二面角P-MN-Q的大小；
（3）作MH⊥NQ于H点，利用等面积法求点M到平面PNQ的距离．

解答 解：（1）由PA⊥底面ABCD知，PA⊥BC，
又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB．
故PC与平面PBA所成的角的正弦为$\frac{BC}{PC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PC=2$\sqrt{3}$．
Rt△PAC中，PA=$\sqrt{12-8}$=2；
（2）由M、N分别为AD、BC的中点，∴MN⊥AD，
又MN⊥PA，PA∩AD=A，∴MN⊥平面PAD．
∴MN⊥MP，MN⊥MQ，
故∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角．
由MQ⊥PD，在Rt△PMQ中，PM=$\sqrt{5}$，MQ=MDsin∠ADP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故cos∠PMQ=$\frac{MQ}{PM}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴二面角P-MN-Q的大小为arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（3）作MH⊥NQ于H点，
由MN⊥PD，MQ⊥PD，∴PD⊥平面MNQ
∴平面MNQ⊥平面PNQ
又MH⊥NQ，∴MH⊥平面PNQ
点M到平面PNQ的距离即为MH．
在Rt△MNQ中，MN=2，MQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，NQ=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴MH=$\frac{MN•MQ}{NQ}$=$\frac{2}{3}$
∴点M到平面PNQ的距离为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面角，考查平面与平面所成的角，考查点M到平面PNQ的距离，正确找出线面角是关键．