Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）在棱PC上是否存在一点M，使二面角M-BQ-C为30°，若存在，确定M的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过四边形BCDQ为平行四边形、∠AQB=90°，及线面垂直、面面垂直的判定定理即得结论；
（2）以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Q-xyz，通过平面BQC的一个法向量与平面MBQ的一个法向量的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，计算即得结论．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点，
∴BC∥DQ且BC=DQ，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ，
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD，
∵PA=PD，∴PQ⊥AD，
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，
∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）结论：当M是棱PC上靠近点C的四等分点时有二面角M-BQ-C为30°．
理由如下：
∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Q-xyz如图，
∴Q（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），
则平面BQC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设满足条件的点M（x，y，z）存在，
则$\overrightarrow{PM}$=（x，y，z-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{MC}$=（-1-x，$\sqrt{3}$-y，-z），
令$\overrightarrow{PM}$=t$\overrightarrow{MC}$，其中t＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=t（-1-x）}\\{y=t（\sqrt{3}-y）}\\{z-\sqrt{3}=t（-z）}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{t}{1+t}}\\{y=\frac{\sqrt{3}t}{1+t}}\\{z=\frac{\sqrt{3}}{1+t}}\end{array}\right.$，
在平面MBQ中，$\overrightarrow{QB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{QM}$=（-$\frac{t}{1+t}$，$\frac{\sqrt{3}t}{1+t}$，$\frac{\sqrt{3}}{1+t}$），
∴平面MBQ的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，t），
∵二面角M-BQ-C为30°，
∴cos30°=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|t|}{\sqrt{3+0+{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得t=3，
∴满足条件的点M存在，M是棱PC的靠近点C的四等分点．

点评 本题考查面面垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．