Question

7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，$∠BC{C_1}=\frac{π}{3}$．

（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）求点B₁到平面ACC₁A₁的距离．

Answer 1

分析 （1）由已知得AB⊥BC₁，C₁B⊥BC，由此能证明C₁B⊥平面ABC．
（2）点B₁转化为点B，利用等体积，即可求点B₁到平面ACC₁A₁的距离．

解答 解：（1）因为侧面AB⊥BB₁C₁C，BC₁?侧面BB₁C₁C，
故AB⊥BC₁，…（2分）
在△BCC₁中，$BC=1，C{C_1}=B{B_1}=2，∠BC{C_1}=\frac{π}{3}$
由余弦定理得：$B{{C}_{1}}^{2}$=${1}^{2}+{2}^{2}-2×1×2×cos\frac{π}{3}$=3
所以$B{C_1}=\sqrt{3}$故$B{C^2}+B{C_1}^2=C{C_1}^2$，所以BC⊥BC₁，…（4分）
而BC∩AB=B，所以BC₁⊥平面ABC…（6分）
（2）点B₁转化为点B，${V_{{C_1}-ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，…（8分）${S_{△AC{C_1}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$…（10分）
又${V_{{C_1}-ABC}}={V_{{B_1}-AC{C_1}}}$
所以点B₁到平面ACC₁A₁的距离为$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直、线线垂直，考查点B₁到平面ACC₁A₁的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．