Question

15．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点．
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离．

Answer 1

分析 （1）建立如图坐标系，求出平面的法向量，即可求出点D到平面PEF的距离；
（2）利用AC∥EF，可得直线AC到平面PEF的距离也即是点A到平面PEF的距离．

解答 解：（1）建立如图坐标系，则A（1，0，0），E（1，$\frac{1}{2}$，0），F（$\frac{1}{2}$，1，0）P（0，0，1）
∴$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{PE}$=（1，$\frac{1}{2}$，-1）
设平面的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{x+\frac{1}{2}y-z=0}\end{array}\right.$
故$\overrightarrow{n}$=（2，2，3），
∴点D到平面PEF的距离d=$\frac{|2+1|}{\sqrt{4+4+9}}$=$\frac{3}{17}\sqrt{17}$；
（2）∵AC∥EF
∴直线AC到平面PEF的距离也即是点A到平面PEF的距离
又$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{1}{2}$，0）
∴点A到平面PEF的距离为d=$\frac{1}{\frac{1}{2}•\sqrt{17}}$=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查点D到平面PEF的距离、直线AC到平面PEF的距离，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．