Question

3．在数列{a_n}中，a₁=1，2a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）•a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等比数列{a_n}的通项公式，并求数列；
（2）令b_n=a_n+1-$\frac{1}{2{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过2a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）•a_n可知2•$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$，利用$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，即得结论；
（2）通过b_n=a_n+1-$\frac{1}{2}$•a_n，得b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用公式计算即可．

解答 （1）证明：∵2a_n+1=（1+$\frac{1}{n}$）•a_n，∴2•$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$，
又∵a₁=1，∴$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以首项为1、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$1•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$；
（2）解：∵b_n=a_n+1-$\frac{1}{2}$•a_n，
∴b_n=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查求数列的通项，考查等比数列的求和公式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于中档题．