Question

8．如图，在锐角△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{7}$，E是BC边上的点．
（1）若AE平分角∠BAC，求$\frac{EC}{BE}$的值；
（2）若AE=$\sqrt{6}$，∠AEC=135°，求角B及BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的内角平分线定理直接写出结果即可．
（2）直接利用正弦定理求出B，然后利用正弦定理求出BC即可．

解答 解：（1）由题意，在锐角△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{7}$，E是BC边上的点，AE平分角∠BAC，
三角形的内角平分线定理可得：$\frac{EC}{BE}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
（2）在锐角△ABC中，AB=2，AC=$\sqrt{7}$，E是BC边上的点．
AE=$\sqrt{6}$，∠AEC=135°，
在△ABE中，$\frac{AE}{sinB}=\frac{AB}{sin45°}$，sinB=$\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴B=60°．
在△ACE中，$\frac{AE}{sinC}=\frac{AC}{sin135°}$，sinC=$\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．cosC=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
cos（B+C）=cosBcosC-sinsinC=$\frac{\sqrt{7}}{7}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{21}}{7}$=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$，
在△ABC中，BC=$\sqrt{{AB}^{2}+{AC}^{2}-2AC•ABcosA}$
=$\sqrt{4+7+2×2×\sqrt{7}cos（B+C）}$
=$\sqrt{4+7+2×2×\sqrt{7}×（-\frac{\sqrt{7}}{14}）}$
=$\sqrt{9}$
=3．

点评 本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．