Question

16．已知正实数a，b，c满足a²+b²=c²，求（1+$\frac{c}{a}$）（1+$\frac{c}{b}$）的最小值．

Answer 1

分析 由题意得$（\frac{a}{c}）^{2}$+$（\frac{b}{c}）^{2}$=1，从而令$\frac{a}{c}$=cosa，$\frac{b}{c}$=sina，0＜a＜$\frac{π}{2}$；从而可得（1+$\frac{c}{a}$）（1+$\frac{c}{b}$）=1+$\frac{2}{sin2a}$+$\frac{2\sqrt{1+sin2a}}{sin2a}$，再令1+sin2a=t²，（1＜t≤$\sqrt{2}$）；从而化简原式=1+$\frac{2}{{t}^{2}-1}$+$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{t+1}{t-1}$=1+$\frac{2}{t-1}$；从而求最小值．

解答 解：∵a，b，c是正实数且a²+b²=c²，
∴$（\frac{a}{c}）^{2}$+$（\frac{b}{c}）^{2}$=1，
令$\frac{a}{c}$=cosa，$\frac{b}{c}$=sina，0＜a＜$\frac{π}{2}$；
（1+$\frac{c}{a}$）（1+$\frac{c}{b}$）=（1+$\frac{1}{cosa}$）（1+$\frac{1}{sina}$）
=1+$\frac{2}{sin2a}$+$\frac{2（sina+cosx）}{sin2a}$
=1+$\frac{2}{sin2a}$+$\frac{2\sqrt{1+sin2a}}{sin2a}$，
令1+sin2a=t²，（1＜t≤$\sqrt{2}$）；
故原式=1+$\frac{2}{{t}^{2}-1}$+$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$
=$\frac{t+1}{t-1}$=1+$\frac{2}{t-1}$；
故当t=$\sqrt{2}$时，1+$\frac{2}{t-1}$有最小值为1+$\frac{2}{\sqrt{2}-1}$=3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的应用及换元法的应用，属于中档题．