Question

7．焦点在x轴，离心率$\frac{\sqrt{5}}{5}$椭圆的短轴为AB，M为椭圆上一点（不与四个端点重合），MA，MB交x轴于点E，F，若|OE|•|OF|=5，则椭圆的短轴长为4．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），设A（0，-b），B（0，b），M（m，n），E（e，0），F（f，0），运用点M满足椭圆方程和三点共线的条件：斜率相等，化简整理，即可求得a，再由离心率公式，求得c，进而得到椭圆的短轴长．

解答 解：设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
设A（0，-b），B（0，b），M（m，n），E（e，0），F（f，0），
即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即m²=a²•$\frac{{b}^{2}-{n}^{2}}{{b}^{2}}$，①
由M，A，E共线可得，
k_MA=k_AE，即有$\frac{n+b}{m}$=$\frac{b}{e}$，②
由M，B，F共线可得，
k_MB=k_BF，即有，$\frac{n-b}{m}$=$\frac{b}{-f}$．③
由②×③，可得$\frac{{n}^{2}-{b}^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{-ef}$，
将①代入可得，-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{ef}$，
即有ef=a²，
由题意可得ef=5，
即a²=5，解得a=$\sqrt{5}$，
由离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即有$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
求得c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{5-1}$=2，
即有椭圆的短轴长为4．
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意点在椭圆上满足椭圆方程，同时考查三点共线的条件：斜率相等，考查运算能力，属于中档题．