Question

15．已知函数f（x）=ax³+bx+2，在X=2处取得极值-14．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）≥kx在（0，2]上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=3ax²+b，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12a+b=0}\\{8a+2b+2=-14}\end{array}\right.$，从而解出a，b的值并检验；
（2）由（1）知f（x）=x³-12x+2，从而f（x）≥kx可化为k≤x²+$\frac{2}{x}$-12，x∈（0，2]；再令g（x）=x²+$\frac{2}{x}$-12，x∈（0，2]；从而化为函数的最值问题求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+bx+2，
∴f′（x）=3ax²+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=12a+b=0}\\{8a+2b+2=-14}\end{array}\right.$，
解得，a=1，b=-12；
经检验，a=1，b=-12符合题意；
（2）由（1）知f（x）=x³-12x+2，
故f（x）≥kx可化为k≤x²+$\frac{2}{x}$-12，x∈（0，2]；
令g（x）=x²+$\frac{2}{x}$-12，x∈（0，2]；
则g′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2（{x}^{3}-1）}{{x}^{2}}$；
故当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（1，2]时，g′（x）＞0，g（x）在（1，2]上单调递增；
故g_min（x）=g（1）=-9，
故k的取值范围是（-∞，-9]．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题与最值问题，属于中档题．