Question

20．已知过⊙O：x²+y²=r²（r＞0）上一点M作⊙O的切线l与椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1交于点A、B两点．
（1）若点M的坐标为（2，2），r=2$\sqrt{2}$，点C的坐标为（4，4），求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值；
（2）若切线l与椭圆交于A、B两点的中点的坐标为N（1，1），试求⊙O的方程．

Answer 1

分析 （1）如图所示，由M（2，2），可得k_OM=1，可得：k_l=-1．可得切线l的方程为：y-2=-（x-2），与椭圆方程联立可得交点坐标，再利用数量积运算即可得出；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用“点差法”可得切线的斜率及其切线方程，可得圆的半径．

解答 解：（1）如图所示，
由M（2，2），可得k_OM=1，∴k_l=-1．
∴切线l的方程为：y-2=-（x-2），化为：y=-x+4．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{\frac{{y}^{2}}{36}+\frac{{x}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，化为13x²-32x-80=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{20}{13}}\\{{y}_{2}=\frac{72}{13}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=$-\frac{80}{13}$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵$\frac{{y}_{1}^{2}}{36}+\frac{{x}_{1}^{2}}{16}=1$，$\frac{{y}_{2}^{2}}{36}+\frac{{x}_{2}^{2}}{16}=1$，
∴$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{36}$+$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{16}$=0，
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=k，
∴$k=-\frac{9}{4}$，
∴切线l的方程为：y-1=-$\frac{9}{4}$（x-1），
化为9x+4y-13=0，
∴r=$\frac{|0-13|}{\sqrt{{9}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{13}{\sqrt{97}}$．
∴⊙O的方程为：x²+y²=$\frac{169}{97}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、数量积运算、圆的切线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．