Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=AB=1，CD=2，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求两面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz．通过$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{BE}$=0，及线面垂直判定定理即得结论；
（Ⅱ）所求值即为平面BCD的一个法向量与平面BDE的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，
依题意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）易得$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
于是$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BE}$=0+$\frac{1}{2}$+（-$\frac{1}{2}$）=0，$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{BE}$=0+0+0=0，
∴PC⊥BE，CD⊥BE，
又∵PC∩CD=C，∴BE⊥平面PCD；
（Ⅱ）依题可知PA⊥底面ABCD，
故$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1）为平面BCD的一个法向量，
由于$\overrightarrow{BD}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
故设平面BDE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取z=2，得$\overrightarrow{m}$=（-2，-2，2），
于是cos＜$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以二面角E-BD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间中线面垂直的判定，以及求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．