Question

14．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14：3，求展开式的常数项．

Answer 1

分析 由条件利用二项式系数的性质、二项式展开式的通项公式求得n=10，在二项式展开式的通项公式中，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

解答 解：由题意可得3${C}_{n}^{4}$=14${C}_{n}^{2}$，∴$\frac{3n（n-1）（n-2）（n-3）}{4！}=\frac{14n（n-1）}{2！}$，求得n=10．
再根据展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{10}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{10-5r}{2}}$，由$\frac{10-5r}{2}$=0，求得 r=2，
∴展开式的常数项是${C}_{10}^{2}$•2²=180．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．