Question

6．已知椭圆W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F（-1，0）斜率不为0的直线l过F交椭圆W于A，B，当l⊥x轴时，|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅰ）求椭圆W的方程
（Ⅱ）在x轴找一点P，使得∠APF=∠BPF
（Ⅲ）能否在x轴找一点Q，使得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$为定值，若能找到，求出点Q的坐标，若不能找到，说明理由．

Answer 1

分析 （I）由直线l过F交椭圆W于A，B，当l⊥x轴时，|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．可得$\frac{2{b}^{2}}{a}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，又c=1，a²=b²+c²，联立解出即可．
（II）设P（t，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线AB的方程为：my=x+1．与椭圆方程联立化为（5+4m²）y²-8my-16=0，由∠APF=∠BPF，可得k_AP+k_BP=0，利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出．
（Ⅲ）假设在x轴上存在一点Q（s，0），使得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$为定值．当AB⊥x轴时，可得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=（s+1）²-$\frac{16}{5}$．当AB与x轴不垂直时，由$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=x₁x₂-s（x₁+x₂）+s²+y₁y₂，利用根与系数的关系可得：$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=$\frac{-（24+8s）{m}^{2}-16}{5+4{m}^{2}}$+（1+s）²，通过比较即可得出．

解答 解：（I）∵直线l过F交椭圆W于A，B，当l⊥x轴时，|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$，又c=1，a²=b²+c²，
联立解得：a²=5，b=2，c=1．
∴椭圆W的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（II）设P（t，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线AB的方程为：my=x+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为（5+4m²）y²-8my-16=0，
∴y₁+y₂=$\frac{8m}{5+4{m}^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-16}{5+4{m}^{2}}$．
∵∠APF=∠BPF，
∴k_AP+k_BP=0，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，
∴y₁（x₂-t）+y₂（x₁-t）=0，
∴y₁（my₂-1-t）+y₂（my₁-1-t）=0，
化为2my₁y₂-（1+t）（y₁+y₂）=0，
∴$\frac{-32m}{5+4{m}^{2}}$-$\frac{8m（1+t）}{5+4{m}^{2}}$=0，
∵m为任意实数上式都成立，
∴4+1+t=0，
解得t=-5．
∴在x轴存在一点P（-5，0），使得∠APF=∠BPF．
（Ⅲ）假设在x轴上存在一点Q（s，0），使得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$为定值．
当AB⊥x轴时，A（-1，$\frac{4}{\sqrt{5}}$），B$（-1，-\frac{4}{\sqrt{5}}）$，
则$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=（s+1）²-$\frac{16}{5}$．（*）
当AB与x轴不垂直时，由（II）可知：x₁+x₂=m（y₁+y₂）-2，x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）
=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1
∴$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=（x₁-s，y₁）•（x₂-s，y₂）=（x₁-s）（x₂-s）+y₁y₂
=x₁x₂-s（x₁+x₂）+s²+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂-（m+sm）（y₁+y₂）+（1+s）²
=$\frac{-16（{m}^{2}+1）}{5+4{m}^{2}}$-$\frac{（m+sm）•8m}{5+4{m}^{2}}$+（1+s）²
=$\frac{-（24+8s）{m}^{2}-16}{5+4{m}^{2}}$+（1+s）²，
与（*）比较可得：$\frac{-（24+8s）{m}^{2}-16}{5+4{m}^{2}}$=-$\frac{16}{5}$，
可得s=-$\frac{7}{5}$．
∴在x轴上存在一点Q（-$\frac{7}{5}$，0），使得$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=$-\frac{76}{25}$为定值．

点评 本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、斜率数量积运算性质、定点与定值问题，考查了探究问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．