Question

14．已知函数g（x）=lnx-（x+1）
（1）求函数g（x）的极大值；
（2）求证：ln（$\frac{n+1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$（n∈N⁺）

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的导数，求得单调区间，进而得到极大值；
（2）构造函数f（x）=ln（1+x）-x，x＞0，求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 （1）解：函数g（x）=lnx-（x+1）的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）递减；
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增．
即有g（x）在x=1处取得极大值，且为-2；
（2）证明：构造函数f（x）=ln（1+x）-x，x＞0，
f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$，
即有f（x）在（0，+∞）递减，
则f（x）＜f（0）=0，
即为ln（1+x）＜x，
令x=$\frac{1}{n}$，则有ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$，
故ln（$\frac{n+1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$（n∈N⁺）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查求极值的方法，同时考查不等式的证明，注意运用函数的单调性，属于中档题．