Question

3．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PF=FA．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求点E到平面PBF的距离．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质可得BE⊥PC．再利用线面垂直的判定和性质即可证明BE⊥平面PAC；
（2）利用等体积法：V_E-PFB=V_B-PEF，求点E到平面PBF的距离．

解答 （1）证明：∵BP=BC，EP=EC，∴BE⊥PC．
∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC，
又AC⊥BC，PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC，
∴AC⊥BE．
又PC∩AC=C，∴BE⊥平面PAC        …（6分）
（2）解：在Rt△PBC中，$PC=2\sqrt{2}$
在Rt△PBA中，$AB=2\sqrt{2}$
∵$PE=\frac{1}{2}PC$，$PF=\frac{1}{2}PA$
∴${S_{△PEF}}=\frac{1}{6}{S_{△PCA}}=\frac{1}{6}•\frac{1}{2}•AC•CP=\frac{1}{6}•\frac{1}{2}•2•2\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$${S_{△PBF}}=\frac{1}{3}{S_{△PBA}}=\frac{1}{6}•\frac{1}{2}•AB•BP=\frac{1}{6}•\frac{1}{2}•2\sqrt{2}•2=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…（10分）
设点E到平面PBF的距离为d
∵V_B-PEF=V_E-PBF
∴$\frac{1}{3}•{S_{△PEF}}•BE=\frac{1}{3}•{S_{PBF}}•d$
即$\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{2}}}{3}•\sqrt{2}=\frac{1}{3}•\frac{{2\sqrt{2}}}{3}•d$
∴$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查了线面平垂直的判定，考查等体积法求点E到平面PBF的距离，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．