Question

15．设函数f（x）=x³+3ax²-9x+5，若f（x）在x=1处有极值
（1）求实数a的值
（2）求函数f（x）的极值
（3）若对任意的x∈[-4，4]，都有f（x）＜c²，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a=1；
（2）求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极值；
（3）求出函数在[-4，4]上的最大值，由不等式恒成立思想可得c的二次不等式，解得c即可得到范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+6ax-9，
由已知得f′（1）=0，即3+6a-9=0，
解得a=1．
（2）由（1）得：f（x）=x³+3x²-9x+5，
则f′（x）=3x²+6x-9，
令f′（x）=0，解得x₁=-3，x₂=1，
当x∈（-∞，-3），f′（x）＞0，当x∈（-3，1），f′（x）＜0，
当x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
所以f（x）在x=-3处取得极大值，极大值f（-3）=32，
在x=1处取得极小值，极小值f（1）=0；
（3）由（2）可知极大值f（-3）=32，极小值f（1）=0，
又f（-4）=25，f（4）=81，
所以函数f（x）在[-4，4]上的最大值为81，
对任意的x∈[-4，4]，都有f（x）＜c²，
则81＜c²，
解得c＞9或c＜-9．
即有c的范围为（-∞，-9）∪（9，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查极值、最值的求法，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．