Question

5．已知函数f（x）=$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{2}$，h（x）=$\sqrt{x}$．
（Ⅰ）若函数h（x）=$\sqrt{x}$图象上一点A（4，h（4）），则求在A点处的切线方程；
（Ⅱ）设函数F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²，求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅲ）设a∈R，解关于x的方程lg[$\frac{3}{2}$f（x-1）-$\frac{3}{4}$]=2lgh（a-x）-2lgh（4-x）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得h（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线方程；
（Ⅱ）首先求出F（x）的解析式，求导，令导数大于0和小于0，分别求出单调增区间和减区间，从而可求极值．
（Ⅲ）将方程转化为lg（x-1）+2lg$\sqrt{4-x}$=2lg$\sqrt{a-x}$，利用对数的运算法则，注意到真数大于0，转化为等价的不等式，分离参数a，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函数h（x）=$\sqrt{x}$的导数为h′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
在A点处的切线斜率为k=$\frac{1}{4}$，切点为（4，2），
即有在A点处的切线方程为y-2=$\frac{1}{4}$（x-4），
即为x-4y+4=0；
（Ⅱ）F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²=-x³+12x+9（x≥0），
即有F′（x）=-3x²+12，
令F′（x）=0，得x=2（x=-2舍去）．
当x∈（0，2）时．F′（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，F′（x）＜0，
故当x∈[0，2）时，F（x）为增函数；当x∈[2，+∞）时，F（x）为减函数．
x=2为F（x）的极大值点，且F（2）=-8+24+9=25．
（Ⅲ）原方程变形为lg（x-1）+2lg$\sqrt{4-x}$=2lg$\sqrt{a-x}$，
?$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{4-x＞0}\\{a-x＞0}\\{（x-1）（4-x）=a-x}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜4}\\{x＜a}\\{a=-（x-3）^{2}+5}\end{array}\right.$，
①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3-$\sqrt{5-a}$；
②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3$±\sqrt{5-a}$；
③当a=5时，原方程有一解x=3；
④当a≤1或a＞5时，原方程无解．

点评 本小题主要考查函数导数的应用、解方程等基础知识，考查函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．