Question

13．如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC为等边三角形．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE；
（Ⅱ）求AE与平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE的中点F、AE的中点G，连接GD，GD，CF，由已知得CF⊥BF，CF⊥AB，从而DG⊥平面ABE，由此能证明平面ABE⊥平面ADE．
（Ⅱ）补全三棱柱AMN-BEC，取MN中点H，连结AH，EH，说明∠AEH就是AE与平面CDE所成角，然后求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：取BE的中点F、AE的中点G，
连接GD，GF，CF，
∵AB⊥平面BCE，△BCE是正三角形，
∴CF⊥BF，CF⊥AB，
∴CF⊥平面ABE，
∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE
∵DG?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面ADE．

（Ⅱ） 如图，补全三棱柱AMN-BEC，取MN中点H，连结AH，EH，则△AMN为正三角形，
可得AH⊥MN，
又CD⊥平面AMN，则AH⊥CD，所以，AH⊥平面CDE，
则∠AEH就是AE与平面CDE所成角．
在△AEH中，AH⊥EH，AH=$2\sqrt{3}$，AE=$4\sqrt{2}$，sin∠AEH=$\frac{AH}{AE}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
AE与平面CDE所成角的正弦值：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．