Question

9．某工厂从一批产品中随机抽取40件进行检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106）．
（1）求图中x的值；
（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回的随机抽取3件，求至少有2件产品的净重在[98，100）中的概率；
（3）若产品净重在[98，104）为合格产品，其余为不合格产品，从这40件抽样产品中任取2件，记ξ表示选到不合格产品的件数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图的性质可得：2×（0.05+x+0.15+0.125+0.075）=1，解得x即可．
（2）产品的净重在[98，100）中的共有0.1×2×40=8件．可得至少有2件产品的净重在[98，100）中的概率P=$\frac{{8}^{2}×32}{4{0}^{3}}$．
（3）由题意可得ξ=0，1，2．产品净重在[98，104）的共有2×（1-0.05-0.075）×40=30．利用“超几何分布”即可得出．

解答 解：（1）由频率分布直方图的性质可得：2×（0.05+x+0.15+0.125+0.075）=1，解得x=0.1．
（2）产品的净重在[98，100）中的共有0.1×2×40=8件．
∴至少有2件产品的净重在[98，100）中的概率P=$\frac{{8}^{2}×32}{4{0}^{3}}$=$\frac{4}{125}$．
（3）由题意可得ξ=0，1，2．
产品净重在[98，104）的共有2×（1-0.05-0.075）×40=30．
则P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{10}^{2}}{{∁}_{40}^{2}}$=$\frac{3}{52}$，P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{30}^{1}{∁}_{10}^{1}}{{∁}_{40}^{2}}$=$\frac{5}{13}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{30}^{2}}{{∁}_{40}^{2}}$=$\frac{29}{52}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{3}{52}$	$\frac{5}{13}$	$\frac{29}{52}$

∴E（ξ）=$1×\frac{3}{52}$+2×$\frac{5}{13}$+$3×\frac{29}{52}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、组合数的计算公式、古典概率计算公式、“超几何分布”的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．