Question

18．无穷数列 P：a₁，a₂，…，a_n，…，满足a_i∈N^*，且a_i≤a_i+1（i∈N^*），对于数列P，记T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），其中min{n|a_n≥k}表示集合{n|a_n≥k}中最小的数．
（Ⅰ） 若数列P：1?3?4?7?…，写出T₁（P），T₂（P），…，T₅（P）；
（Ⅱ）若T_k（P）=2k-1，求数列P 前n项的和；
（Ⅲ）已知a₂₀=46，求s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意直接可得结论；
（Ⅱ）通过分析可得a₁=a₂=1，a₃=a₄=2，…，a_2n-1=a_2n=n，…分n为奇数、偶数两种情况考虑即可；
（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，存在某个i（i≤i≤19）满足a_i≤a_i+1，通过T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），可得${T}_{{a}_{i}+1}$（P）=i+1，故只需将数列P略作调整，仅将第a_i的值增加1，即调整后s′=s．如果数列{a_n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，最终一定可以经过有限次的操作，使得{a_n}中的每一项变为相等，且操作中保持s的值不变，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵数列P：1?3?4?7?…，即从第三项起每项是前两项的和，
∴T₁（P）=1，T₂（P）=2，T₃（P）=2，T₄（P）=3，T₅（P）=4；
（Ⅱ）∵T_k（P）=2k-1，
∴T₁（P）=1，T₂（P）=3，T₃（P）=5，T₄（P）=7，…
∵T₂（P）=3，且T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），
∴a₃≥2，且a₂＜2，
同理，由T₃（P）=5，且T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），
得a₅≥3，a₄＜3，
以此类推，得a₇≥4，a₆＜4；…；a_2n-1≥n，a_2n-2＜n；…
∵a_i≤a_i+1（i∈N^*），a_i∈N^*，
∴a₁=a₂=1，a₃=a₄=2，…，a_2n-1=a_2n=n，…
当n为奇数时，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2（1+2+…+$\frac{n-1}{2}$）+$\frac{n+1}{2}$=$\frac{（n+1）^{2}}{4}$，
当n为偶数时，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2（1+2+…+$\frac{n}{2}$）=$\frac{{n}^{2}+2n}{4}$，
∴数列{a_n}前n项的和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（n+1）^{2}}{4}，}&{n为奇数}\\{\frac{{n}^{2}+2n}{4}，}&{n为偶数}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）考查符合条件的数列P中，
若存在某个i（1≤i≤19）满足a_i≤a_i+1，
对应可得T_k（P），及s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）．
∵T_k（P）=min{n|a_n≥k}（k∈N^*），∴${T}_{{a}_{i}+1}$（P）=i+1，
下面将数列P略作调整，仅将第a_i的值增加1，具体如下：
将a_j′=a_j+1，对于任何j（j≠1）令a_j′=a_j，可得数列P′及其对应数列T_k（P′），
根据数列T_k（P′）的定义，可得${T}_{{a}_{i}+1}$（P′）=i，且T_j（P′）=T_j（P）（j≠a_i+1）．
显然${T}_{{a}_{i}+1}$（P′）=${T}_{{a}_{i}+1}$（P）-1，
∴s′=a₁′+a₂′+…+a₂₀′+T₁（P′）+T₂（P′）+…+T₄₆（P′）
=a₁+a₂+…+a_i-1+（a_i+1）+a_i+1+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+（${T}_{{a}_{i}+1}$-1）+${T}_{{a}_{i}+2}$+…+T₄₆（P）
=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）=s，
即调整后s′=s．
如果数列{a_n′}还有存在相邻两项不相等，继续做以上的操作，
最终一定可以经过有限次的操作，使得{a_n}中的每一项变为相等，
且操作中保持s的值不变，
而当a₁=a₂=…=a₂₀=46时，T₁（P）=T₂（P）=…=T₄₆（P）=1，
∴s=a₁+a₂+…+a₂₀+T₁（P）+T₂（P）+…+T₄₆（P）=46×20+46=966．

点评 本题是一道建立在数列上的新定义题，考查分类讨论的思想，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题．