Question

10．从包含A同学的若干名同学中选出4名参加英语、数学、物理、化学竞赛，每名同学只参加一科竞赛，若A同学不参加英语，数学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，一共有多少名同学参加竞赛？

Answer 1

分析 设共有n名同学，首先从这n名同学中选出4人．然后再分别参加竞赛，按同学A进行分类，所以根据分类计数原理，得到${A}_{n-1}^{4}$+${A}_{2}^{1}•{A}_{n-1}^{3}$=72，解得即可．

解答 解：设共有n名同学，首先从这n名同学中选出4人．然后再分别参加竞赛，按同学A进行分类：
第一类，不选A，则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛，有${A}_{n-1}^{4}$种参赛方式；
第二类：选A，首先安排A，有${A}_{2}^{1}$种方法，再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3科竞赛，有${A}_{n-1}^{3}$种方法，共有${A}_{2}^{1}•{A}_{n-1}^{3}$种参赛方式．
所以根据分类计数原理，一共有${A}_{n-1}^{4}$+${A}_{2}^{1}•{A}_{n-1}^{3}$种方法，
根据题意，得${A}_{n-1}^{4}$+${A}_{2}^{1}•{A}_{n-1}^{3}$=72，
即（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）+2（n-1）（n-2）（n-3）=72，
即（n-1）（n-2）（n-3）[（n-4）+2]=（n-1）（n-2）（n-2）（n-3）=4×3×3×2，
解得n=5．

点评 本题考查了分类计数原理和排列数公式的应用，关键是分类，属于中档题．