Question

20．对于函数y=f（x），若其定义域内存在两个实数m，n（m＜n），使得x∈[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称函数f（x）为“和谐函数”，若函数f（x）=k+$\sqrt{x+2}$是“和谐函数”，则实数k的取值范围是-$\frac{9}{4}$＜k≤-2．

Answer 1

分析 求出f（x）的定义域，根据f（x）为“和谐函数”，确定出k的范围即可．

解答 解：根据题意得：函数f（x）=k+$\sqrt{x+2}$是单调增函数，
∵“和谐函数”的定义为：存在实数m，n，x∈[m，n]时，f（x）∈[m，n]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+\sqrt{m+2}=m}\\{k+\sqrt{n+2}=n}\end{array}\right.$，
∴方程k+$\sqrt{x+2}$=x有两个不等实根．并且得到k=x-$\sqrt{x+2}$，即对于同一个k有两个x对应，
设y=x-$\sqrt{x+2}$，令t=$\sqrt{x+2}$，得到y=t²-t-2，
画出图象，得到k的取值范围为：-$\frac{9}{4}$＜k≤-2．
故答案为：-$\frac{9}{4}$＜k≤-2

点评 此题考查了进行简单的合情推理，以及函数的值域，弄清题中的新定义是解本题的关键．