Question

12．已知函数f（x）=x²+ax-$\frac{1}{2}$1nx．
（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=0，求导数，利用导数的正负求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a≥0，求出导数为0的根，即可求函数f（x）的极值点．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．
若a=0，f（x）=x²-$\frac{1}{2}$1nx，f′（x）=$\frac{（2x+1）（2x-1）}{2x}$．
f′（x）＞0可得x＞$\frac{1}{2}$，f′（x）＜0可得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴函数的单调增区间为（$\frac{1}{2}$，+∞），单调减区间为（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）f′（x）=$\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$=0，
∴4x²+2ax-1=0的两个根为x₁=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$，x₂=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$，
∵a≥0，∴x₂＜0＜x₁，
x∈（0，x₁），f′（x）＜0，x∈（x₁，+∞），f′（x）＞0，
∴x₁=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$为函数的极小值点．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与极值，正确求导是关键．