Question

3．设函数f（x）=ln$\frac{1}{{a}^{4}x}$-x²+ax（a＞0）．
（1）若f（x）在定义域上为单调函数，求a的取值范围；
（2）设x₁，x₂为函数f（x）的两个极值点，求f（x₁）+f（x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求导数，设g（x）=2x²-ax+1，利用判别式，可得a的取值范围；
（2）利用韦达定理表示出f（x₁）+f（x₂），利用导数确定单调性，即可求f（x₁）+f（x₂）的最小值．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{2{x}^{2}-ax+1}{x}$（x＞0，a＞0）
设g（x）=2x²-ax+1．
①△=a²-8≤0，即0＜a≤2$\sqrt{2}$时，g（x）≥0恒成立，∴f′（x）≤0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数；
②△＞0，即a＞2$\sqrt{2}$时，g（x）=0在（0，+∞）上有两相异实根，
∴f（x）在（0，+∞）上不是单调函数，不合题意，
综上，0＜a≤2$\sqrt{2}$；
（2）由（1）知，x₁，x₂为2x²-ax+1=0的两根，x₁+x₂=$\frac{a}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{2}$
∴f（x₁）+f（x₂）=ln$\frac{1}{{a}^{4}{x}_{1}}$-x₁²+ax₁+ln$\frac{1}{{a}^{4}{x}_{2}}$-x₂²+ax₂=ln2-8lna+$\frac{{a}^{2}}{4}$+1．
设h（a）=ln2-8lna+$\frac{{a}^{2}}{4}$+1，则h′（a）=$\frac{（a+4）（a-4）}{2a}$，
∴h（a）在（2$\sqrt{2}$，4）上单调递减，在（4，+∞）上单调递增，
∴h（a）_min=h（4）=5-15ln2，
∴f（x₁）+f（x₂）的最小值为5-15ln2．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．