Question

5．已知函数f（x）=alnx+$\frac{b}{x}$+2x（a、b∈R）两个极值点分别在区间（$\frac{1}{2}$，1）和（1，2）内，则z=a+b的取值范围是（-10，-4）．

Answer 1

分析 求函数的导数，结合函数的导数和极值之间的关系建立不等式组，利用线性规划的知识进行求解．

解答 解：函数的导数f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{b}{{x}^{2}}$+2，
若两个极值点分别在区间（$\frac{1}{2}$，1）和（1，2）内，
则f′（x）=0的根在区间（$\frac{1}{2}$，1）和（1，2）内，
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{f′（\frac{1}{2}）＞0}\\{f′（1）＜0}\\{f′（2）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2a-4b+2＞0}\\{a-b+2＜0}\\{\frac{a}{2}-\frac{b}{4}+2＞0}\end{array}\right.$
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=a+b，得b=-a+z，
平移直线b=-a+z，由图象知当直线b=-a+z，经过点C时，目标函数的截距最大，此时z最大，
经过点B时，目标函数的截距最小，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{a-2b+1=0}\\{a-b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-1}\end{array}\right.$，即C（-3，-1），此时z=-3-1=-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{\frac{a}{2}-\frac{b}{4}+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=-4}\end{array}\right.$，即B（-6，-4），此时z=-6-4=-10，
即-10＜z＜-4，
故答案为：（-10，-4）．

点评 本题主要考查函数导数和极值之间的关系以及不等式的应用，根据条件转化为线性规划，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．